Calcul des structures sous effets dynamiques et sismiques

Ce document résume les principaux thèmes et concepts abordés dans le document source "Calcul des structures sous effets dynamiques et sismiques.pdf". L'objectif de ce cours est de fournir une présentation générale des méthodes d'analyse des structures soumises à des chargements dynamiques, avec un rappel de l'analyse (détermination des déplacements et des efforts) dans une optique de dimensionnement ou de vérification.

1. Introduction aux Chargements Dynamiques

  • Définition : Un chargement dynamique est défini comme une action qui évolue au cours du temps en direction, intensité et/ou position. Contrairement aux chargements quasi-statiques où les forces d'inertie sont négligeables, la réponse d'une structure soumise à un chargement dynamique évolue dans le temps.
  • "Chargement dynamique : = Actions qui évoluent au cours du temps (en direction, intensité et/ou position) [... ] La réponse de la structure évolue au cours du temps !!"
  • Exemples d'actions dynamiques en génie civil :
  • Vibrations dues au trafic (trains, camions)
  • Vibrations d'origine humaine (marche, sauts, danse)
  • Vibrations dues aux machines (machines tournantes)
  • Explosions et impacts
  • Vent (composante moyenne statique + composante turbulente dynamique)
  • Séismes (sollicitation par accélération imposée des fondations)
  • Houle (structures côtières et off-shore, navires)
  • Critères de dimensionnement: Les critères à respecter varient selon les cas et peuvent inclure :
  • ELU traditionnels (vent, houle)
  • Fatigue (machines), ELS
  • Accélérations maximales (TGV) ou confort (vibrations "humaines")
  • Résistance résiduelle suffisante (séisme, explosion)
  • Dynamique déterministe vs. stochastique : Distinction entre chargements parfaitement définis (déterministe) et chargements connus via des grandeurs statistiques (stochastique).
  • "Dynamique déterministe >< dynamique stochastique : - Déterministe: chargement parfaitement défini 1 réponse sous 1 charge donnée - Stochastique (probabiliste): chargement connu via des grandeurs statistiques (moyenne, écart-type…)"

2. Systèmes à un Degré de Liberté (SDOF)

  • Modélisation: Présentation de la simplification de structures complexes en systèmes à un seul degré de liberté (1DDL) par différentes hypothèses :
  • Hypothèse 1: raideur et masse uniformément réparties sur la longueur + déformée = fct(x) système continue
  • Hypothèse 2: Modèle "élements finis" système à N degrés de liberté
  • Hypothèse 3: Déformée vibratoire supposée connue et définie par son amplitude système décrit par un seul paramètre (1 degré de liberté)
  • Équation du mouvement pour les systèmes 1DDL :
  • Présentation de l'équation fondamentale M u(t) + C u'(t) + K u(t) = P(t) où:
  • M = masse
  • C = amortissement
  • K = raideur
  • u(t) = déplacement
  • P(t) = force appliquée
  • Cas particulier de l'excitation du support, où M u(t) + C u'(t) + K u(t) = -M ug(t) avec ug étant l'accélération du support.
  • "M u + C u + K u = P(t)"

3. Vibrations Libres (Amorties et Non Amorties)

  • Vibrations libres non amorties :
  • Équation M u + K u = 0.
  • Solution générale de la forme u(t) = A cos(ωt + φ) où:
  • ω = √(K/M) est la pulsation propre.
  • A est l'amplitude.
  • φ est la phase initiale.
  • Définition de la période propre T = 2π/ω et de la fréquence propre f = 1/T.
  • "( ) cos sinu t A t A tφ ω φ ω→ = + = −"
  • Vibrations libres amorties :
  • Équation M u + C u' + K u = 0.
  • Discussion des différents régimes d'amortissement en fonction du coefficient d'amortissement ξ par rapport à l'amortissement critique Ccr.
  • Cas 1 : Amortissement critique (ξ = 1).
  • Cas 2 : Amortissement super-critique (ξ > 1).
  • Cas 3 : Amortissement infra-critique (ξ < 1). Cas habituel en GC.
  • Ordre de grandeur de l'amortissement dans le domaine du GC.
  • Double effet de l'amortissement: Décroissance exponentielle de l'amplitude et Modification de la pulsation propre
  • *Constructions métalliques: 1 à 2 %
  • *Béton armé et précontraint: 2 à 7 %
  • *Sols: 5 à 15 %

4. Vibrations Forcées (Harmoniques)

  • Vibrations non amorties sous charges harmoniques :
  • Équation du mouvement M u + K u = P0 sin(ωt).
  • Solution statique: u(t) = (P0/K) sin(ωt).
  • Solution dynamique: Composante transitoire (dépendant des conditions initiales) + composante stationnaire (dépendant du chargement).
  • Fonction de transfert : H(β) = 1 / (K(1 - β²)).
  • Résonance : H(β) → ∞ quand β → 1 où β = ω/ωn
  • "H = 1 / (K(1 - β²)) = Fonction de transfert"
  • Vibrations amorties sous charges harmoniques :
  • Équation du mouvement M u + C u' + K u = P0 cos(ωt).
  • Solution homogène: u(t) = e^(-ξωt) (A cos(ωD t) + B sin(ωD t))
  • Solution particulière: u(t) = U cos(ωt - φ)φ est le déphasage entre la force et le déplacement.

5. Détermination de l'Amortissement

  • Présentation de différentes méthodes pour déterminer l'amortissement d'une structure réelle, notamment :
  • Atténuation des vibrations libres.
  • δ = ln(u_n / u_(n+k)) = 2πξ
  • Amplification à la résonance.
  • u_res / u_stat = 1 / (2ξ)
  • Largeur du pic de résonance.

6. Vibrations sous Charges Périodiques

  • Principe de superposition : Application du principe pour résoudre des problèmes avec des charges périodiques en utilisant la décomposition en séries de Fourier.
  • "Si u1 est solution de M u + C u + K u = P1(t) et u2 est solution de M u + C u + K u = P2(t) Alors, C1 u1 + C2 u2 est solution de M u + C u + K u = C1 P1(t) + C2 P2(t)"
  • Décomposition en série de Fourier : Toute fonction périodique peut être décomposée en une somme de sinus et de cosinus.
  • P(t) = a0 + Σ (an cos(nωt) + bn sin(nωt))
  • Réponse du système : Calcul de la réponse totale par superposition des réponses à chaque harmonique.
  • Difficulté: Calcul des coefficients an , bn et Recomposition de la série des un

7. Réponse à un Chargement Impulsionnel

  • Méthode : Décomposition du chargement en une succession d'impulsions. La réponse est la superposition des réponses à chaque impulsion (intégrale de Duhamel).
  • Cas particulier : Impulsion de Dirac. L'oscillateur se comporte comme un oscillateur libre auquel on donne une vitesse initiale u'0 = I / M.
  • "L'oscillateur se comporte comme un oscillateur libre auquel on donne une vitesse initiale 0u I M="
  • Fonction de réponse impulsionnelle unitaire (h(t)) : Représente la réponse à une impulsion de Dirac.
  • Intégrale de Duhamel : Permet de calculer la réponse à une sollicitation quelconque en utilisant la fonction de réponse impulsionnelle:
  • u(t) = ∫ P(τ) h(t - τ) dτ
  • "u(t) = ∫ P(τ) h(t - τ) dτ : Intégrale de Duhamel"
  • Domaine fréquentiel : Utilisation de la transformée de Fourier pour analyser la réponse en fréquence.
  • U(ω) = H(ω) P(ω)
  • Fourier x H Fourier
  • inverse

8. Méthodes Pas à Pas (Intégration Numérique)

  • Limitations des méthodes analytiques : Systèmes linéaires, procédures partiellement numériques pour les charges quelconques.
  • Principe des méthodes pas à pas : Équilibre dynamique vérifié à des instants discrets (tn = t0 + n Δt) avec une hypothèse sur le comportement entre t et t + Δt.
  • Formulations implicites vs. explicites : Différence fondamentale dans la manière de calculer l'état suivant de la structure.
  • Implicites Procédures itératives
  • Explicites Solutions directes
  • Problèmes possibles : Déphasage, période apparente, amortissement numérique (positif ou négatif).
  • Deux familles principales : Approximation sur les dérivées et approximation sur les intégrales.
  • Méthode de la différence centrale : Schéma explicite. Qualité liée au choix de Δt. Méthode non-inconditionnellement stable.
  • "Schéma explicite: ( ) ( ) ( )0 0 1 1, , ,n nu u u u u→ → → →… …"
  • *Différence centrale = interpolation parabolique des déplacements*
  • *Non-inconditionnellement stable*
  • Méthode de l'accélération constante/linéaire : Schéma implicite. Nécessite des itérations.
  • Méthode de Newmark : Généralisation de l'accélération constante/linéaire. Conversion possible en schéma explicite.
  • Newmark = impliciete procedure itérative nécessaire.

9. Analyse des Systèmes à Plusieurs Degrés de Liberté (MDOF)

  • Formulation matricielle de l'équation du mouvement : [M] {q̈} + [C] {q̇} + [K] {q} = {P(t)}.
  • Formulation "élément fini" : Discrétisation des systèmes continus, utilisation de fonctions d'interpolation pour définir les déplacements.
  • Comportement dynamique :
  • Masses concentrées.
  • Masses cohérentes.
  • Amortissement : Difficile à déterminer en pratique. La matrice d'amortissement [C] doit souvent être déterminée autrement (amortissement de Rayleigh ou amortissement modal).
  • Vibrations libres non amorties : [M] {q̈} + [K] {q} = 0. Problème généralisé aux valeurs propres : ([K] - ω²[M]) {u} = 0.
  • Réponse forcée :
  • Domaine fréquentiel : Fonctions de transfert croisées.
  • Domaine temporel : Réponse pas à pas.
  • En base modale : Découplage des équations, amortissement de Rayleigh ou modal.
  • Truncature de la base des modes : Réduction de la taille du problème à résoudre.
  • Vecteurs de Ritz: Remplacer la base des modes propres par une base liée en correspondance avec le chargement.

10. Analyse Sismique

  • Le phénomène sismique : Tectonique des plaques, théorie du rebond élastique, ondes sismiques.
  • Caractérisation des séismes :
  • Magnitude (échelle de Richter).
  • Intensité (échelle de Mercalli).
  • Durée.
  • Déplacement maximal du sol.
  • Accélération maximale du sol (PGA).
  • Accélérogrammes.
  • Spectres de réponse.
  • Aléa et risque sismique :
  • Aléa : Niveau de séisme susceptible de se produire (PGA).
  • Cartes de zonation.
  • Risque sismique : Aléa x vulnérabilité.
  • Réponse sismique d'un système 1DDL :
  • Equation du mouvement : M v̈ + C v̇ + K v = -M vg(t).
  • Spectres de déplacement, vitesse et accélération (Sd, Sv, Sa).
  • Pseudo-spectres.
  • Spectres normatifs (Eurocode 8).
  • Réponse sismique d'un système MDDL :
  • Analyse temporelle (accélérogrammes, Newmark, base modale).
  • Analyse modale spectrale (spectre de réponse, combinaison des réponses modales SRSS, CQC).
  • Analyse statique équivalente (structure régulière, approche simplifiée).
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